1. 时域微分.

法一 计算傅里叶变换.

法二 计算傅里叶逆变换.

已知 $F(\omega) \e^{\j\omega t}$ 和 $\j\omega F(\omega) \e^{\j\omega t}$ 在 $\R^2$ 上连续, $\inti F(\omega) \e^{\j\omega t} \dd{\omega} = f(t)$ 对 $\forall t \in \R$ 收敛.

如果 $\inti \j\omega F(\omega) \e^{\j\omega t} \dd{\omega}$ 关于 $t$ 在 $\R$ 上一致收敛 (这个要如何证明呢? 不过作为工科, 信号与系统经常做这种不太严谨的推导), 则上述积分与求导可交换次序, 此时有

于是 $f'(t) \rla \j\omega F(\omega)$.

2. 频域微分.

其中积分与求导能交换次序, 是因为 $f(t)$ 和 $t f(t)$ 在 $\R$ 上绝对可积, 从而 $\inti (-\j t) f(t) \e^{-\j\omega t} \dt$ 和 $\inti f(t) \e^{-\j\omega t} \dt$ 关于 $\omega$ 在 $\R$ 上一致收敛.